Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran, Anda harus paham dengan teorema Pythagoras. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

 

Pada Gambar di atas, dua buah lingkaran L₁ dan L₂berpusat di P dan Q, berjari-jari R dan r. Dari gambar tersebut diperoleh:

1) jari-jari lingkaran P = R;

2) jari-jari lingkaran Q = r;

3) garis singgung persekutuan dalam = AB = d;

4) jarak titik pusat kedua lingkaran = PQ = p.

Jika garis AB digeser sejajar ke atas sejauh BQ maka diperoleh garis SQ. Garis SQ sejajar AB, sehingga ∠PSQ = ∠PAB = 90° (sehadap).

Perhatikan segi empat ABQS. Garis AB//SQ, AS//BQ, dan ∠PSQ = ∠PAB = 90°. Jadi, segi empat ABQS merupakan persegi panjang dengan panjang AB = d dan lebar BQ = r. Perhatikan bahwa ∠PQS siku-siku di titik S. Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh:

QS² = PQ² - PS²

QS = √(PQ² - PS²)

QS = √(PQ² – (R + r)²)

Karena panjang QS = AB, maka rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah

 

Contoh Soal

 

Pada gambar di atas, panjang jari-jari MA = 5 cm, panjang jari-jari NB = 4 cm, dan panjang MN = 15 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalamnya.

Penyelesaian:

Diketahui MA = 5 cm, NB = 4 cm, dan MN = 15 cm. Garis singgung persekutuan dalamnya adalah AB.

AB = √( MN² – (MA + NB)²)

AB = √(15² – (5 + 4)²)

AB = √(225  – 81)

AB = √144

AB = 12 cm

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 12 cm.