Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Perhatikan Gambar di bawah ini.

 

Dari gambar tersebut diperoleh bahwa:

1) jari-jari lingkaran P = R;

2) jari-jari lingkaran Q = r;

3) garis singgung persekutuan luar = AB = d;

4) jarak titik pusat kedua lingkaran = PQ = p.

Jika garis AB kita geser sejajar ke bawah sejauh BQ maka diperoleh garis SQ. Garis AB sejajar SQ, sehingga∠ PSQ = ∠ PAB = 90° (sehadap).

Perhatikan segi empat ABQS. Garis AB//SQ, AS//BQ, dan ∠PSQ = ∠PAB = 90°. ∠PQS siku-siku di S, sehingga berlaku

QS² = PQ² - PS²

QS = √(PQ² - PS²)

QS = √(PQ² – (R - r)²)

Karena QS = AB = d, maka rumus panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah

 

Contoh Soal

Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah 12 cm. Jarak kedua pusat lingkaran tersebut  13 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran  3,5 cm, hitunglah panjang jari-jari lingkaran yang lain.

Penyelesaian:

Panjang garis singgung persekutuan luar adalah 12 cm, maka d = 12. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 13 cm, maka p = 13. Panjang salah satu jari-jari lingkaran adalah 3,5 cm, sehingga r = 3,5. Panjang jari-jari lingkaran yang lain = R, sehingga

d = √(p² – (R - r)²)

12 = √(13² – (R – 3,5)²)

122 = 13² – (R – 3,5)²

144 = 169 – (R – 3,5)²

(R – 3,5)² = 169 – 144

(R – 3,5)² = 25

R – 3,5 = √25

R – 3,5 = 5

R = 5 + 3,5

R = 8,5 cm