Panjang Garis dan Besar Sudut dari Bangun Geometri

Konsep dua segitiga yang kongruen yang dapat digunakan untuk menentukan panjang garis dan besar sudut dari bangun datar, seperti jajargenjang, belah ketupat, dan layang-layang. Sebelum menghitung panjang garis dan besar sudut dari bangun geometri, silahkan Anda pelajari uraian berikut. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini!

Gambar di atas merupakan segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di titik B. Jika dibuat garis dari titik sudut B ke hipotenusa AC sedemikian rupa sehingga∠ABT = 30°, maka besar ∠ATB dapat ditentukan dengan menggunakan konsep jumlah sudut-sudut dalam segitiga yakni:

∠ATB = 180 – (∠ABT + ∠BAT)

∠ATB = 180° – (30° + 30°)

∠ATB = 120°

Kita ketahui bahwa ∠ATB dan ∠BTC merupakan sudut saling pelurus maka:

∠BTC = 180° – ∠ATB

∠BTC = 180° – 120°

∠BTC = 60°

Kita juga ketahui bahwa ∠ABT dan dan CBT merupakansudut penyiku, maka:

∠CBT = 90° – ∠ABT

∠CBT = 90° – 30°

∠CBT = 60°

Untuk mencari besar BCT dapat digunakan konsep jumlah sudut-sudut dalam segitiga, yakni:

∠BCT = 180° – (∠BTC + ∠CBT)

∠BCT = 180° – (60° + 60°)

∠BCT = 60°

Jika digambarkan akan tampak seperti gambar di bawah ini.

 

Dari gambar di atas tampak bahwa ∠BAT = ∠ABT = 30° sehingga ∆ABT sama kaki, dalam hal ini AT = BT. Selain itu, ∠CBT = ∠BCT = ∠BTC = 60° sehingga ∆BTCsama sisi, dalam hal ini BT = BC = CT.

Dengan demikian, AT = BT = BC = CT. Perhatikan bahwa AT = CT sehingga BT merupakan garis berat∆ABC. Oleh karena AC = AT + CT maka AC = BC + BC = 2BC atau AC = BT + BT = 2BT.

Berdasarkan uraian di atas maka dapat ditarik kesimpulan bahwa untuk segitiga siku-siku yang bersudut 30° akan memiliki dua sifat yakni: sifat pertama, bahwa panjang garis berat segitiga siku-siku bersudut 30° yang ditarik dari titik sudut siku-siku sama dengan panjang setengah hipotenusanya. Sifat kedua, panjang sisi terpendek dari segitiga siku-siku bersudut 30° sama dengan panjang setengah hipotenusanya.

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang sifat-sifat segitiga siku-siku yang bersudut 30°, perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar di bawah ini.

Jajargenjang ABCD terbentuk dari dua segitiga siku-siku yang kongruen, yaitu ∆ADC dan ∆CBA. Jika AC = 12 cm, tentukan panjang semua sisi jajargenjang tersebut.

Penyelesaian:

Sekarang perhatikan ∆ABC yang diambil dari bagian jajargenjang di atas, seperti gambar di bawah ini.

Kita ketahui bahwa BA = 2CB (sifat kedua dari segitiga siku-siku yang bersudut 30°). Untuk mencari panjang CB kita gunakan teorema Pythagoras di mana ∆CBA siku-siku di C maka:

(BA)² = (AC)² + (CB)²

(2CB)² = 122 + (CB)²

4(CB)² = 144 + (CB)²

3(CB)² = 144

(CB)² = 48

CB = 4√3 cm

BA = 2CB

BA = 2 . 4√3

BA = 8√3 cm.

Oleh karena ∆ADC kongruen dengan ∆CBA maka:

AD = CB

AD = 4√3 cm

DC = BA

DC = 8√3 cm

Contoh Soal 2

Sekarang perhatikan lagi gambar di bawah ini.

Jika AB = 6 cm, BC = 3 cm, DC = 4 cm, ∠DBC = 53°, dan DB = DA = 5 cm. Tentukanlah besar ∠DAB.

Penyelesaian:

Jika semua data-data yang diketahui pada contoh soal 2 di masukan ke dalam gambar, maka akan tampak seperti gambar di bawah ini.

 

Sekarang perhatikan gambar di atas. Terlihat bahwa ∆ABD adalah segitiga samakaki. Tarik garis tinggi∆ABD yang melalui titik D hingga memotong AB secara tegak lurus di E.

Karena panjang AE = BE maka ∆ABD segitiga sama kaki di mana DE merupakan garis tinggi ∆ABD. Adapun ∆DEB siku-siku di E, EB = 3 cm, dan DB = 5 cm. Maka panjang DE dapat dicari dengan teorema Pythagorasyakni:

DE = √((DB)² – (EB)²)

DE = √(5² – 3²)

DE = √(25 – 9)

DE = √16

DE = 4 cm.

Sekarang perhatikan ∆DEB dan ∆DCB, dari dua segitiga tersebut akan diperoleh:

DC = DE = 4 cm

CB = EB = 3 cm

DB = DB = 5 cm (berimpit)

Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang maka ∆DEB kongruen dengan ∆DCB, akibatnya:

∠DBC = ∠DBE

∠DBC = 53°.

Selain itu ∆DEB kongruen dengan ∆DEA karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang yakni:

ED = ED = 4 cm (berimpit)

DB = DA = 5 cm

EB = EA = 3 cm

Akibatnya:

∠DAB = ∠DBE

∠DAB = 53°

Jadi, besar ∠DAB adalah 53°